如何提高数学练习题的效能

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如何提高数学练习题的效能

作者：罗老师文章来源：本站原创点击数：5021 更新时间：2006/12/4

如何提高数学练习题的效能

在中学各个科目的教学中，练习的地位在数学中显得最为突出。学生学数学，主要不是靠“读”会的，而是通过训练“做”会的。因此，数学练习理所当然地成了中学生学习生活中最经常的伴随者之一。然而，在“减负”的呼声越来越高涨的今天，数学练习又是加重学生负担的重要原因之一。“如何提高数学练习题的效能”就成为我们每一位数学教师需要探讨的迫在眉睫的问题。

一、编选适当的练习题在教学中的必要性和作用

1、它是对教材的补充与完善

教科书上所选配的习题并不可能满足所有不同层次的学生的需要。尤其是现行教材面对全国范围，由于幅员广大，各地经济、文化背景差异不小，对于不同地区、不同学校、不同学生，想让他们都适用，显然是不可能的，也是根本办不到的。同时，任何一本教材也不能把所学知识能解决的各种问题都包罗万象，面面俱到。另一方面，应当看到教材上所涉及的概念、定理、思想、方法，有一个逐步加深理解，巩固熟练的过程，而这个过程往往都是通过练习题的演算来完成的。特别是一些关键的概念，总需要不断深化，在新的数学知识范畴内又会有更新的理解；反之这种理解又会优化新知识的学习。如何才能有机地沟通这些联系呢？只靠教材上练习是不够的；这就需要教师编选适当练习题加以补充。例如，“绝对值”的概念是初一就已讲到的；此时，由于知识面所限，只能在有理数范围内理解和应用。但是，“绝对值”的概念是涉及整个中学数学知识体系的概念；需要学生不断地有新的理解，否则就会形成一个新旧知识上的断裂带，给学生学习带来困难。因此教师总要在提出新概念后，补充一些有关的题目，通过对这些题目的演算，为学生在新旧知识之间架起一座桥梁，起到温故知新的作用。比如在学习了整式、根式、方程、函数之后，都可以补充与之有关的练习题；这些题目必将使学生对“绝对值”概念的理解在每个阶段都有新意，总在不断深化。

由此看来，编选适当的练习题是对教材的补充和完善；这种以大纲和教材为依据的补充和完善是教师在教学活动中发挥主导作用的体现；也是学生在学习活动中不可缺少的内容；

2、它能调动学生的非智力因素，激发学习兴趣

在教学实践中，我们都有这样的体会：一个好的数学题，有时会调动学生的非智力因素，激发学生的学习兴趣和积极性，起到其它环节所起不到的作用。而这样的好题往往都要靠教师根据教学中所发现的问题以及学生的实际需要有目的地编选。这样的好题，可以是书上的例题、习题的引伸和发挥；可以是结合学生学习所遇到的疑难问题临时选配的；可以是针对学生的薄弱环节加以补充的；还可以是从学生所发生的错误中列举的反例。总之，这样的题目在教科书上是无法预先编写的。例如在初一乘法公式的教学中，选编下面三题

，学生通过计算得出正确结果后并没有引起更多的思考。为此再附加一个问题：通过计算你有什么发现？此题立即引起了学生的思考和争论。在得出正确结论：①利用平方差公式较简便②(a+b)²与(a-b)² 之间相差4ab 的反思中，不仅仅是进一步熟悉了公式和相关结论，而且从中领略到了探讨数学问题的快感。

３、它能更好地贯彻因材施教原则

在班级授课制中，存在一个致命的弱点，那就是在一个班级的几十名学生中，他们的接受水平是不可能一样的；讲授同一的统一教材，是很难体现因材施教原则的。面对这一问题，教师必须采取不同的方法加以补救，其中重要的方法，就是按照不同的需要布置不同水平的练习题，使学生都能根据自己的需要，选择适当的练习题来进行演算，使他们在不同的层次都能有所提高。

４、它能减轻学生负担，促使学生主动学习

在当前，许多学生盲目地演算大量的课外习题，其中有许多题目缺乏科学性、系统性，尤其是有的不顾大纲要求，掺杂了许多偏题、难题、怪题，形成了一个巨大的“题海”。给学生造成时间上的浪费和压力，不仅使身心健康受到损害，而且也不会使学生在学业上得到益处。怎样才能使学生摆脱“题海”从偏题、难题、怪题中解脱出来呢？当然彻底解决这个问题需要社会的综合治理；但是，从教师的角度看；教师如果能编选一些有水平的练习题，让学生在教师的指导下有计划有针对性地演算习题，也是解决“题海”之灾的重要手段。所以，编选适当的练习题也是减轻学生负担，促使学生主动学习的需要。

二、如何选编练习题

既然练习题在数学教学中有这样重要的地位，那么怎样才能充分发挥好它的作用呢？其关键就在于要保证所选编练习题的质量。这就要求我们明白以下内容：

首先要了解数学题的类型：如果一道题的条件、解法与解题根据这三个基本要素都是学生知道的，那么我们就称它为标准性题；一些复习学过知识的练习也同样可认为是标准性题。如果一道题目中有一个上述的基本要素是学生不知道的（或不明白的），那么我们就称它为训练性的题。如果有两个要素不知道，就称它为探索性题。如果三个要素都不为学生所知，则称之为问题性题。如果解题过程顺利的话，问题性的题,通常先转化为探索性的，再转化为训练性的，最后变成标准性的，从而找到问题的解。如果提出的问题是探索性的,转变的次数自然会减少。这样一种对习题的认识，反映着教学过程的动态特点，并使这个过程更面向实际应用，更有利于学生世界观的培养；同时也产生了这样一种可能性，即在中学差不多所有数学题的基础上，都能编出一些解法更为多样的题目，在解决这些题目的过程中，我们可以通过转化题的基本要素，来完成从“未知”到“已知”的过渡。例如，已知：如图１，ＡＤ和ＢＣ交于Ｅ，ＡＥ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＣＥ，求证：ΔＡＥＢ≌ΔＤＥＣ

对刚学完三角形全等判定定理的初二学生来说，这道题属于训练性的题。但把该题变化一下：“如图１，要证明ΔＡＥＢ与ΔＤＥＣ全等，需要哪些条件？”这就变成一道问题性的题目了。在解这道

题的过程中，学生必须知道（回忆起）三角形全等的判定法则。这样，对于他们来说，这道题就变为一道探索性的题了。学生从已知的三角形全等的判定法则中挑选出某一个法则（如：“边、角、边”），这样，他们事实上是在找题的条件。针对给出的图，恰当地应用这个条件，学生便可找出所要求的证明。此题也就变成了标准题。

这个例子也说明：在具体的教学条件下，可以将同一道题用于不同的教学目的。

其次，编选练习题要有明确的目的性：每一道题目的编选都应有一定的目的，有的是针对加深理解所学的数学概念，有的是针对需要掌握的数学方法，有的是针对必须熟练的技能技巧，有的是针对学生出现的错误等等。这样，当学生演算后才能收到预期的效果。

第三，编选的练习题要难易适当、数量相宜：练习题的作用，应当是在学生力所能及并经过努力可以完成的范围内充分发挥的。要想保证练习题发挥作用的这种可行性，很大程度上决定于所选练习题的难易和数量。难易适当是确保可行性的关键。难易的标准应当以大纲和教材为基准，以学生的实际水平为出发点。为了让学生掌握好教材中的重点和典型的解题思想方法，习题的难度也不能停留在一般了解的层次上，要有意挑选一些经过认真的思考才能解出的题目，使学生从中得到启发，加深理解；相对地对于非重点的教材内容，练习题就要难度降低一些。数量相宜也是确保练习题可行性的重要条件。数学中的一些重要的概念定理、思想方法和技能技巧并不是通过作一道题、使用一次就可以掌握的；往往需要通过一定数量的练习，在适当的循环和螺旋上升中，才能了解其中的奥妙。但是，又不能以多代精，搞题海战术。

在如何编选练习题，充分挖掘习题潜力，以利培养学生能力，开发学生智力方面，笔者认为应从以下几方面去努力：

１、挖掘教材上的例题、习题的潜在功能

实际上，相当多的习题都能在教材中找到它的原形，因此，立足教材，挖掘和发挥教材中的例、习题的潜在功能及指导价值是编选练习题的重要手段。

教材中例、习题的已知条件和结论都比较明确，如果教师在教学过程中，认真钻研教材，吃透教材，深挖教材中每一个例、习题的潜在功能，真正弄懂弄通教材编排意图，适当添加教材外的内容，对学生更好地掌握知识是有帮助的。如在教完“相似形”这一章后，将Ｐ.226 例题２改编为一道问题性题：如图２在RtΔABC中，CD是斜边AB边上的高，根据上述条件，结合图形直接写出

你能得出的结论，并加以证明。学生通过分析不但能够得出∠1＝∠Ｂ，∠２＝∠Ａ，ΔＡＤＣ、ΔＣＤＢ，ΔＡＣＢ都相似，而且，由相似得到比例后，又得出了ＡＣ＝ＡＤ·ＡＢ，ＤＣ＝ＤＡ·ＤＢ，ＢＣ＝ＢＤ·ＢＡ（射影定理），有的同学甚至于由面积公式推出ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ。在教师的提示下还可以由射影定理推出勾股定理。通过这一例题充分激发了学生探求问题结论的热情，做到了一题多得、一题多用、一题多变，从而达到了做一题会一类的目的。

２、发挥例题的引路作用

教材的例、习题一般都是直截了当地给出结论，如果例题本身提出的问题是具体而明确的教师不应以得到例题的解答为满足，而应进一步加以探索，挖掘其中蕴涵着的值得深思的问题，及时加以引导，使学生在原题的基础上产生联想，从而获得解决新问题的方法。如《几何》第三册有一道题：如图３，已知ΔＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以ＡＢ为直径的⊙Ｏ交ＢＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于

Ｅ。求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线。证明本题的关键是证明点Ｄ是中点，解答完本题后，引导学生认真分析题目的条件和结论以及证明过程，将题目改编为一道探索性题：已知如图3，仅从下列三个条件中任取两个加以组合，能否得出第三个？⑴ＡＢ＝ＡＣ　⑵ＡＢ是直径⑶Ｄ是中点。若从上面三个条件中任取两个再从下面两个条件中任取一个，能否推得另一个成立？⑷ＤＥ⊥ＡＣ⑸ＤＥ是切线。通过例题的引路，激发了学生兴趣。

３、讲究例、习题的编排顺序，将有关题目进行串联

为了充分发挥例、习题的多层次作用，将有关题目进行串联，充分发挥它们的整体作用，以启发学生的思维。其串联方法之一，是将例、习题进行演变、引申、推广。具体做法是将某一题保留条件，而更换或增加结论；也可以更换条件，保留结论；还可以同时更换条件和结论。如《几何》第三册P.84第12题：已知，如图4 ，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，且BF交⊙O于I。求证：EC=DF。

⑴、引申结论，步步深入。若原题设不变，又设AE= a，EF=b，BF=ｃ①求证：AE·BF=FD·DE。②求证：tg∠EAC和tg∠EAD是方程ax －bx＋c=0 的两个根。③求证：ＥＣ和ＣＦ的长是方程x －bx＋ac＝0的根。④指出当ＣＤ与⊙Ｏ是什麽位置关系时，b －４ac=0。

⑵、同题异图，殊图同归。依原题意，另作如图５，再证原题及⑴中①②结论。

⑶、移动位置，使问题特殊化。若将图4中EF向下平移至与⊙O相切，即点C与D重合为切点，如图６。①求证： AB=AE+BF（《几何》第三册P116第8题）。② 求证：AC平分∠EAB（《几何》第三册p108例2，P122例1）。③求证：EF ＝4AE·BF。④若BF=4，AE=1，求四边形ABFE的面积。

⑷、巧添条件，另立新意。在图6的基础上，若作CD⊥AB，垂足为D，如图7。求证：①RtΔBCF≌ RtΔBCD.②BD=BF，CD=CF=CE。③∠ECD=∠DBF。④CD =AE·BF或CF =AD·DB或CD =BF·IF。

⑸、调换关系，迁移深化。将图7的垂直关系倒换过来得图8。①求证：EO⊥OF。②OC =AE·BF。 ③求证：AC∥OF（《几何》第三册P119例1或P108例3的变形）。④若AB=2，CF=x,EC=y，求y关于x的函数关系式。

本题还可以继续演变，这里不在赘述。

其串联方法之二，是循序渐进，增大习题的知识容量。如用下列题组进行练习，达到用较少题量复习较多内容，尽力提高单位时间的效益。1、如图9，若AB=AC，∠A=36 ，AB的垂直平分线交AC于

点D，则结论：⑴∠C=72 ⑵BD是∠ABC的平分线⑶ΔABD和Δ BDC都是等腰三角形⑷ΔBCD∽ΔABC ⑸AD =AC·CD ⑹BC =AB·CD　⑺BC= AC ⑻点D是AC的黄金分割点中正确的有几个？2、⊙O的半径OA=OB=1，弦长AB是方程x ＋x－1=0的正根，求AB所对的圆心角的度数。

总之，若将课本某些典型题图变异发展，如移位变换，形成一组能易中求活求深求精，融课本例习题、中考（会考）题及课外资料于其中的提高型系列训练题组，创设习题教学新情境，引导学生探索演练，则既能提高学生平时训练及综合复习的兴趣，使学生积极投入解题活动，又能以点带面，覆盖一片，使所学知识与方法融会贯通，同时还能从多向变换问题角度的习题训练中，广开学生思路，拓展学生思维，培养学生思维的灵活性和深刻性，提高学生的解题能力。

4、充分发挥“错误”的作用

在学生的作业、考试中，常常会出现一些具有代表性的典型错误。这些错误的出现反映出了学生学习中的薄弱环节，一般来说，也是教材中的重点、难点、关键之处，或者是教学中出现漏洞的地方。因此教师要善于编选一些相应的练习题，针对学生的错误加以纠正，补漏补缺，达到充实提高的目的。如在研究一元二次方程的有关问题时，学生忽略判别式Δ≥0这一必要条件，出现错误：“关于x的方程4x ＋(a －3a－10)x＋4a＝0的两实根互为相反数，求a的值。” 错解：∵方程两实根互为相反数，∴

, 解得 a =5, a = －2。产生错误的原因就是在求解的过程中忽略了一元二次方程有实根的条件是判别式 Δ≥0。在教学中，编选一些类似的题目，让学生在正、反两方面的比较之中，深刻认识Δ≥0的必要性，不出现类似的错误。再如：学生进行分式的计算时常常把分母去掉，针对这种情况，设计下面训练：解方程 ①

５、确保题目的科学性

　人们在编选练习题时，往往比较重视命题的知识性、思考性和解题的技巧性，而忽视题目整体的科学性，以至使“错题”起着“负迁移”的作用。一般来说，所谓“错题”是指超越学生知识范围，自相矛盾、错误答案。

６、善于收集信息，更新题型

近年来，在各类考试、资料中出现许多优秀题目，不但形式多样，而且构思新颖、灵活，深受好评。因此，编选练习题还要广泛了解情况，收集不同角度的信息，将其中优秀的题型及题目有计划、有目的地吸收到教学中来，不断更新、提高质量，控制数量。

只要我们认真钻研大纲、领会教材编写意图，做一个“有心人”就一定能够不断提高练习题的效能，让我们为进一步大面积提高数学教学质量而努力吧。

文章录入：罗老师责任编辑：admin

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