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  [图文]垂足三角形的性质及证明         ★★★ 【字体:
垂足三角形的性质及证明
作者:徐小建    文章来源:凤凰教学网    点击数:21896    更新时间:2014-01-03    

江苏省平潮高级中学    226361    徐小建

锐角三角形的垂足三角形有两个重要的性质,本文对这两个性质加以证明。

性质1  锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心。

已知:如图1,锐角△ABC中,ADBECF分别为边BCACAB上的高,O为垂心。

求证:点O为垂足△DEF的内心。

证明:由已知条件可得DCEO四点共圆,所以2=4;同理∠1=3,又∠3和∠4都与∠ABC互余,所以∠3=4;所以∠1=2EB平分∠FED;同理可得FCDA分别平分∠EFD与∠FDE。所以点O为△DEF的内心。性质1得证。

   

性质2   锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周长最短。

为了证明性质2,我们先看几个引理:

引理1   已知:如图2,点E为锐角△ABC的边AC上一点,点E关于AB的对称点为G,关于AC的对称点为HGEAB于点PEHBC于点QGHABBC分别于点FD,△EMN是过点E的任一异于△DEF的内接三角形。若△DEF的周长记为L1,△EMN的周长记为L2。则有⑴ L1=2PQ;⑵ L1 < L2

证明:⑴连结MGMH,由已知条件可得,PQ为△EGH的中位线,所以L1=2PQ

⑵由已知条件易得L1=EF+FD+DE=GF+FD+DH=GHL2=EM+MN+EN=GM+MN+NH>GH,所以L1 < L2

注:引理1证明了过三角形边上任一点存在周长最短的内接三角形,且其周长为定值。

引理2   已知:如图3,若△DEF为锐角△ABC的垂足三角形,则△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。

证明:作点E关于AB的对称点为G,关于AC的对称点H,连结FGDHCF,由定理1可知,∠1=2;由对称性可得,∠3=4;再由CFABF得,∠2+3=AFC=90o;所以∠1+2+3+4=2AFC=180o,即点GFD在同一直线上;同理可得,点H DF在同一直线上。所以,点GFDH在同一直线GH上。所以FD必为GHABBC的交点。所以,由引理1可知△DEF是过点E的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形。引理2得证。

注:引理2证明了垂足三角形是过某一垂足点的周长最短的内接三角形。

 
 

 

 

 

 

 

 

 


引理3   在同圆或等圆中,相等的圆周(心)角所对的弦相等;在不等圆中,相等的圆周(心)角所对的弦,大圆的弦大于小圆的弦。(证明略)

性质2的证明:  如图4,△DEF为锐角△ABC的垂足三角形(由引理2可得,△DEF为过点E的周长最短的内接三角形),△D1E1F1是过点E1的△ABC的内接三角形中周长最短的三角形(E1AC边上异于点E的点)。以下证明△DEF的周长(记为L1)小于△D1E1F1的周长(记为L2)。

作点E关于AB的对称点为G,关于AC的对称点为H,连结GEAB于点P,连结EHAC于点Q,连结GH必交ABBC分别于点FD(由引理2保证);作点E1关于AB的对称点为G1,关于AC的对称点为H1,连结G1E1AB于点P1,连结E1H1AC于点Q1,连结G1H1必交ABBC分别于点F1D1(由引理1保证);由引理1可得,L1=2PQL2=2P1Q1;由对称性可得EPABPEQBCQ,所以,点EPBQ在以BE为直径的圆上;同理可得点E1P1BQ1在以BE1为直径的圆上。所以,线段PQ P1Q1可以分别看以BEBE1为直径的两不等圆中相等的圆周角∠ABC所对的两条弦。又因为BE是垂线段,所以BE < BE1,由引理3可得PQ< P1Q1,所以L1< L2。性质2得证。

Tel:013962926612,0513-6719867

E-mail:jsrgxxj@sohu.com

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