|
| 网站首页 | 文章中心 | 下载中心 | 图片中心 | 雁过留声 | 学员管理 | | ||
|
||
|
|||||
初一学生如何解一元一次方程 | |||||
作者:罗老师 文章来源:本站原创 点击数:72515 更新时间:2014/12/3 | |||||
如何解一元一次方程 方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程 都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧. 用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一 个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的. 如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式. 条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出 方程的解集. 只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程. 任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式). 解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解. 一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定: (2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解; (3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解. 例1 解方程
解法1 从里到外逐级去括号.去小括号得 去中括号得
去大括号得
解法2 按照分配律由外及里去括号.去大括号得
化简为 去中括号得
去小括号得 例2 已知下面两个方程 3(x+2)=5x,① 4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ② 有相同的解,试求a的值. 分析 本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值. 解 由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,应有 4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3), 7(a-3)-3(a-3)=18-12,
例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解. 解 由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有 2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,-2x=-21, 例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0. 分析 这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值 时,方程解的情况. 解 把原方程化为 m2x+mnx-mn-n2=0, 整理得 m(m+n)x=n(m+n).
当m+n≠0,且m=0时,方程无解; 当m+n=0时,方程的解为一切实数. 说明 含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论. 例5 解方程 (a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2. 分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也 就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程. 解 将原方程整理化简得 (a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2, 即 (a2-b2)x=(a-b)2. (1)当a2-b2≠0时,即a≠±b时,方程有唯一解
(2)当a2-b2=0时,即a=b或a=-b时,若a-b≠0,即a≠b,即a=-b时,方程无解; 若a-b=0,即a=b,方程有无数多个解. 例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x- 2m)+m的值. 解 因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以 m2-1=0,即m=±1. (1)当m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为 199(1+4)(4-2×1)+1=1991; (2)当m=-1时,原方程无解. 所以所求代数式的值为1991. 例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值. 解 将原方程变形为 2ax-a=3x-2, 即 (2a-3)x=a-2. 由已知该方程无解,所以
例8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数? 来确定: (1)若b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立. (2)若ab>0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立. (3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立. 解 按未知数x整理方程得 (k2-2k)x=k2-5k. 要使方程的解为正数,需要 (k2-2k)(k2-5k)>0. 看不等式的左端 (k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5). 因为k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方 程的解是正数,所以k>5或0<k<2即为所求. 例9 若abc=1,解方程
解 因为abc=1,所以原方程可变形为
化简整理为
化简整理为
说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化. 例10 若a,b,c是正数,解方程
解法1 原方程两边乘以abc,得到方程 ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得 ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)] +ac[x-(a+b+c)]=0, 因此有 [x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0. 因为a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以 x-(a+b+c)=0, 即x=a+b+c为原方程的解. 解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到
其余两项做类似处理. 设m=a+b+c,则原方程变形为
所以
即 x-(a+b+c)=0. 所以x=a+b+c为原方程的解. 说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一. 例11 设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:
分析 要解此方程,必须先去掉[ ],由于n是自然数,所以n与(n+1) …,n[x]都是整数,所以x必是整数. 解 根据分析,x必为整数,即x=[x],所以原方程化为
合并同类项得
故有
所以x=n(n+1)为原方程的解. 例12 已知关于x的方程
且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值. 解 由原方程可解得
a最小,所以x应取x=160.所以
所以满足题设的自然数a的最小值为2.
练习四
1.解下列方程:*
2.解下列关于x的方程: (1)a2(x-2)-3a=x+1;
4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解
|
|||||
文章录入:罗老师 责任编辑:admin | |||||
【发表评论】【加入收藏】【告诉好友】【打印此文】【关闭窗口】 |
网友评论:(只显示最新10条。评论内容只代表网友观点,与本站立场无关!) |
| 设为首页 | 加入收藏 | 联系站长 | 友情链接 | 版权申明 | 网站公告 | 管理登录 | | |||
|